Homo ludens

Terug naar hoofdmenu
Vorige Entr'acte
Volgende Entr'acte
Archief Entr'actes

Oud en der dagen zat loop je tegenwoordig geheid een keer tegen dat spelletje van Windows aan: FreeCell. Ik hoef het u natuurlijk niet uit te leggen. Anders zou immers de vorige zin niet waar zijn en daar let ik altijd heel goed op: of de vorige zin waar is. Over dat spelletje wil ik iets in het midden brengen. Ik wil de uitspraak aanvechten die je in de documentatie vindt:

Opmerking

Deze uitspraak is impliciet gericht op het vestigen van de opvatting dat elk spelletje te winnen is, evenwel zonder te beweren dat dat kan worden bewezen. En zonder maar in de verte de mogelijkheid open te laten dat je misschien beter het omgekeerde kunt onderzoeken: zijn er ook spelletjes te vinden die onoplosbaar zijn? Onwaarheid schuilt in de beide eerste woorden van de volzin, die suggereren dat de bedoelde aanname voordehandliggend en algemeen is. Ik zal in deze uiteenzetting dat andere pad bewandelen. Het is immers gewoon niet waar dat elk spelletje gewonnen kan worden. Er is immers best een spelletje te bedenken dat niet gewonnen kan worden.

Voor mijn bewijs moet ik het spel natuurlijk wel eerst even karakteriseren, niet omdat u het niet zou kennen, maar om precies te kunnen zijn als ik over details spreek. Welnu. Het spel wordt gespeeld met 52 kaarten van een gewoon kaartspel. Hoe het toegaat kan als volgt worden samengevat.

8 Begintorens: kokers van 7 of 6 kaarten, daarin geplaatst op grond van het lot en tijdens het spel onderhevig aan het benaderingprincipe last in, first out,
4 Doeltorens: kokers voor de doelordening van elk van de 4 soorten klaveren, ruiten, harten, schoppen en wel van laag (Aas) tot hoog (Koning), Geplaatste kaarten mogen er niet meer uit
Een buffer van vier vrije velden, waar je voor enige tijd een kaart apart kunt leggen om er even geen last van te hebben bij het bereiken van het doel van het spel.
De Spelregel: Verplaats overeenkomstig Regel-a een kaart vanuit een Begintoren naar een andere Begintoren of naar een vrij veld in de Buffer, ofwel overeenkomstig Regel-b vanuit een Begintoren of vanuit de buffer naar een Doeltoren.
Regel-a: de kaart moet in kleur (rood/zwart) afwijken van de kaart waarbij hij gaat aansluiten en zijn waarde moet 1 kleiner zijn dan die van die kaart. Ook een reeks van I opeenvolgende kaarten mag zo verplaatst worden als I niet groter is dan het aantal vrije plaatsen (o.a. in lege begintorens) plus 1.
Regel-b: de kaart moet van dezelfde kaartsoort (klaveren,ruiten,harten,schoppen) zijn als de kaart waarbij hij gaat aansluiten en zijn waarde moet 1 groter zijn dan die kaart. Een Aas heeft waarde 1 en wordt in een lege doeltoren geplaatst.
Het Doel van het spel is dat alle kaarten geordend naar hun kaartsoort zich bevinden in de vier Doeltorens.

De aangehaalde uitspraak zal blijken een onwaarheid te zijn zodra een spelletje wordt getoond waarbij de kaarten niet volgens de regels tot de doelordening gebracht kunnen worden. Daarbij heb je niet de minste last van het erg grote - zij het niet oneindig grote - aantal mogelijke spelletjes - laten we dat noemen AMS. Dat aantal beloopt slechts de uitkomst der vermenigvuldiging met elkaar van de getallen van 1 tot en met 52 (ik noteer dat voor mezelf als: 52!! ). De uitkomst behelst dus het aantal mogelijke ordeningen van die 52 getallen in een ééndimensionale rij. We moeten de uitkomst natuurlijk delen door 40320 (= 8!!), omdat het geen verschil maakt in welk van de 8 kokers een bepaalde volgorde van kaarten wordt gerealiseerd. Anders uitgedrukt: een ordening die dezelfde reeksen van kaarten in andere torens plaatst telt niet mee binnen AMS.

Wanneer de kaarten in de ordeloze torens zo "geordend" zouden zijn dat de laagste kaarten snel benaderbaar zijn, dan is het een fluitje van het cent om de doelordening te verwezenlijken. Dat is dus bijvoorbeeld het geval wanneer in alle kokers de volgorde van de kaarten een oplopende reeks vormt. De azen zijn dan direct beschikbaar voor overbrenging naar de vier kokers voor de genoemde doelordening. De vraag is: Kan een begin-verdeling van de kaarten over de 8 begintorens ooit zodanig zijn dat een gewenst eindresultaat onmogelijk is? Zodra we er eentje vinden is de geciteerde aanname hierboven ontzenuwd.

Vraag me niet hoe ik ertoe kom, maar hier volgt de beschrijving van zo'n beginsituatie van waaruit geen weg naar een oplossing voert. Kan ik dat bewijzen? Jazeker, want het aantal mogelijkheden van verplaatsing van kaarten is bij elk van de 8 eerste bewegingen zo beperkt dat je onmiddellijk vastloopt. Dat is natuurlijk ook maar weer een bewering. De enige mogelijkheid om mijn uitspraken te ontzenuwen is nu echter niet iets oncontroleerbaars als alle spellen zijn oplosbaar (wat onbewijsbaar is vanwege het grote aantal) maar dit spel is onoplosbaar (wat als het onwaar is door de opsomming van een zeer beperkt aantal zetten ontzenuwd moet kunnen worden).

Hier heb je dat spelletje met zijn 8 begintorens. Denk erom: aan de onderkant spelen.

1	2	3	4	5	6	7	8
Kla-9	Sch-9	Kla-10	Sch-10	Kla-B	Sch-B	Kla-V	Sch-V
Kla-A	Sch-A	Kla-2	Sch-2	Kla-3	Sch-3	Kla-4	Sch-4
Kla-5	Sch-5	Kla-6	Sch-6	Kla-7	Sch-7	Kla-8	Sch-8
Kla-K	Sch-K	Rui-A	Har-A	Rui-2	Har-2	Rui-3	Har-3
Rui-4	Har-4	Rui-5	Har-5	Rui-6	Har-6	Rui-7	Har-7
Rui-8	Har-8	Rui-9	Har-9	Rui-10	Har-10	Rui-B	Har-B
				Rui-V	Har-V	Rui-K	Har-K

Ik zeg in plaats van Windows:

Opmerking
Zeker is (ook zonder theoretische verklaring) dat niet elk spelletje te winnen is. En het woord is dus aan U. Zoals dat hoort. Maar ik wijs u nog op één ding: ga na op hoeveel plaatsen in de gegeven layout bepaalde kaarten van plaats kunnen wisselen zonder dat de onoplosbaarheid van het spel wordt aangetast. (Een hint: ieder aantal van alle 45 (!) horizontaal geplaatste tweetallen, samen 45!! als ik het goed zie.) Dan kom je dus telkens bij een geval meer van een onoplosbaar spelletje. Een gehypertrofieerde onoplosbaarheid. En misschien kunt u ook eens nagaan - maar dan schenden we wel de regels - hoe het aantal (on)oplosbare spelletjes afhangt van het aantal vrije plaatsen dat je wilt toelaten. Eventueel afhankelijk van 's spelers leeftijd.

Jan van Bakel, 17 november 2008

janvanbakel.nl

Reactie? Bericht: jan.van.bakel@gmail.com.

Terug naar boven